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Division-ample sets and the diophantine problem for rings of integers

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Disciplines
  • Mathematics

Abstract

Division-ample sets and the diophantine problem for rings of integers Gunther Cornelissen, Thanases Pheidas, Karim Zahidi Division-ample sets and the diophantine problem for rings of integers Tome 17, no 3 (2005), p. 727-735. <http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2005__17_3_727_0> © Université Bordeaux 1, 2005, tous droits réservés. L’accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nom- bres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/), implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://jtnb.cedram. org/legal/). Toute reproduction en tout ou partie cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à fin strictement personnelle du copiste est constitutive d’une infrac- tion pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ Journal de The´orie des Nombres de Bordeaux 17 (2005), 727–735 Division-ample sets and the Diophantine problem for rings of integers par Gunther CORNELISSEN, Thanases PHEIDAS et Karim ZAHIDI Re´sume´. Nous demontrons que le dixie`me proble`me de Hilbert pour un anneau d’entiers dans un corps de nombres K admet une re´ponse ne´gative si K satisfait a` deux conditions arithme´tiques (existence d’un ensemble dit division-ample et d’une courbe ellip- tique de rang un sur K). Nous lions les ensembles division-ample a` l’arithme´tique des varie´te´s abe´liennes. Abstract. We prove that Hilbert’s Tenth Problem for a ring of integers in a number field K has a negative answer if K satis- fies two arithmetical conditions (existence of a so-called division- ample set of integers and of an elliptic curve of rank one over K). We relate division-ample sets to arithmetic of abelian varieties. 1. Introduction Let K be a number field and let OK be its ring of integers. Hilbert’s Tenth Problem or the diophantine problem for OK is t

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