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Les lignes arithmétiques

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  • Mathematics

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Les lignes arithmétiques NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES G. TARRY Les lignes arithmétiques Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 18 (1899), p. 149-155. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1899_3_18__149_1> © Nouvelles annales de mathématiques, 1899, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ [Q4b«] LES LIGNES ARITHMÉTIQUES; P\R M. G. TARRY. Nous allons étudier les restes des termes de la pro- gression arithmétique Ann.de Mat/iémat., 3' série, t. XVIII. (Avril 1899.) 1O ( i5o ) de raison «, divisés par b, a et b étant des nombres entiers. Le nombre des restes différents, y compris zéro, est au plus égal à è, et chaque reste se déduit du précédent en ajoutant à ce dernier le reste de a, et en retranchant b si la somme obtenue est plus grande que b, II résulte de là que les restes, ou résidus par rapport au module £, forment une suite périodique dont la pé- riode comprend un nombre de termes p, égal ou infé- rieur à ô. Ces résidus sont évidemment les résidus, tous ditfe- rents, des p premiers termes o, a, ia, 3a , . . . , (p— i)a. Le terme suivant, pa, donne pour résidu zéro, et l'on a pa = qb. On voit que les seuls termes divisibles par b sont o, pa, ipa, 3/>a, Le nombre ba. divisible par />, étant compris parmi ces termes, ba = npa, et, en remplaçant ba par son égal qb, ba = tiqb. Ces deux égalités se réduisent à b — np, a = nq. Si a et b sont premiers entre eux, le nombre n qui divise à la fois a et b est égal à l'unité, et dans ce cas particulier b D'où ces conséque

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