Lezione 7 7/x/2013

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Lezione 7 7/x/2013

Authors
Keywords
  • 2013
  • 10
  • Analisi Matematica
  • 00013
  • 0052
  • Scienze Statistiche
  • 8054

Abstract

1/19 P�i? 22333ML232 Dipartimento di Scienze Statistiche Analisi Matenatica Lezione 7 7 ottobre 2013 prof. Daniele Ritelli [email protected] 2/19 P�i? 22333ML232 Esempio lim n→+∞ (√ 1 + n−√n ) = 0 3/19 P�i? 22333ML232 Teorema del confronto Se (i) an ≤ bn ≤ cn per ogni n ∈ N (ii) lim n→∞ an = limn→∞ cn = ` allora lim n→∞ bn = ` 4/19 P�i? 22333ML232 Per ipotesi, per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n > nε si ha `− ε < an < `+ ε, `− ε < cn < `+ ε 4/19 P�i? 22333ML232 Per ipotesi, per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n > nε si ha `− ε < an < `+ ε, `− ε < cn < `+ ε e allora, per gli stessi n abbiamo `− ε < an ≤ bn ≤ cn < `+ ε il che e` quanto si voleva dimostrare. 5/19 P�i? 22333ML232 Applicazione Sia x un numero reale strettamente positivo. Allora: lim n→∞ n √ x = 1. 5/19 P�i? 22333ML232 Applicazione Sia x un numero reale strettamente positivo. Allora: lim n→∞ n √ x = 1. Sia x > 1. Allora per ogni n ∈ N si ha n√x > 1, dunque, deve esistere, per ogni n ∈ N, rn ∈ R rn > 0 tale che: n √ x = 1 + rn. 5/19 P�i? 22333ML232 Applicazione Sia x un numero reale strettamente positivo. Allora: lim n→∞ n √ x = 1. Sia x > 1. Allora per ogni n ∈ N si ha n√x > 1, dunque, deve esistere, per ogni n ∈ N, rn ∈ R rn > 0 tale che: n √ x = 1 + rn. Eleviamo i due lati alla n e usiamo la disuguaglianza di Bernoulli in modo che: x = (1 + rn) n ≥ 1 + n rn, 6/19 P�i? 22333ML232 da cui: 0 < rn < x− 1 n . 6/19 P�i? 22333ML232 da cui: 0 < rn < x− 1 n . Ma, allora per il teorema del confronto, abbiamo che rn → 0, quindi n √ x→ 1. 6/19 P�i? 22333ML232 da cui: 0 < rn < x− 1 n . Ma, allora per il teorema del confronto, abbiamo che rn → 0, quindi n √ x→ 1. Terminiamo con il caso x < 1. Posto y = x−1, si ha y > 1, quindi n √ y → 1. D’altra parte, essendo: n √ x = 1 n √ y , ancora una volta, n √ x→ 1. 7/19 P�i? 22333ML232 Teorema Sia (an) una successi

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