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The probability that brownian motion almost contains a line

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The probability that Brownian motion almost contains a line ANNALES DE L’I. H. P., SECTION B ROBIN PEMANTLE The probability that Brownian motion almost contains a line Annales de l’I. H. P., section B, tome 33, no 2 (1997), p. 147-165. <http://www.numdam.org/item?id=AIHPB_1997__33_2_147_0> © Gauthier-Villars, 1997, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Annales de l’I. H. P., section B » (http://www.elsevier.com/locate/anihpb), implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti- lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 147- The probability that Brownian motion almost contains a line Robin PEMANTLE (1) Department of Mathematics, University of Wisconsin-Madison, E-mail: [email protected] Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. 33, n° 2, 1997, p, l65 Probabilités et Statistiques ABSTRACT. - Let RE be the Wiener sausage of radius E about a planar Brownian motion run to time 1. Let PE be the probability that RE contains the line segment [0, 1] on the Upper and lower estimates are given for PE . The upper estimate implies that the range of a planar Brownian motion contains no line segment. RESUME. - Soit la sausisse de rayon c autour d’un mouvement Brownien plan arrete au temps 1. Soit PE; la probability que R~ contient le segment [0, 1] sur l’axe x. Des bomes inférieures et supérieures sont donnees pour La borne superieure montre que le mouvement brownien ne contient aucun segment de droite. 1. INTRODUCTION Let ~B~ : t > 0} == ((Xt, be a 2-dimensional Brownian motion, started from the origin unless otherwise stated. Let R = B~O,1~ be the range of this trajectory up to time 1. Brownian motion is one of the most (’) Research supported in

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