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A purely analytical lower bound for $L(1,\chi )$

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  • Mathematics

Abstract

A purely analytical lower bound for L(1,) ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL Olivier Ramaré A purely analytical lower bound for L(1, χ) Volume 16, no 2 (2009), p. 259-265. <http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2009__16_2_259_0> © Annales mathématiques Blaise Pascal, 2009, tous droits réservés. L’accès aux articles de la revue « Annales mathématiques Blaise Pas- cal » (http://ambp.cedram.org/), implique l’accord avec les condi- tions générales d’utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Publication éditée par le laboratoire de mathématiques de l’université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS Clermont-Ferrand — France cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ Annales mathématiques Blaise Pascal 16, 259-265 (2009) A purely analytical lower bound for L(1, χ) Olivier Ramaré Abstract We give a simple proof of L(1, χ)√q � 2ω(q) when χ is an odd primitiv qua- dratic Dirichlet character of conductor q. In particular we do not use the Dirichlet class-number formula. Résumé Nous donnons une preuve simple de l’inégalité L(1, χ)√q � 2ω(q) lorsque χ est un caractère quadratique primitif impair. En particulier, nous n’utilisons pas la formule de Dirichlet liant L(1, χ) et e nombre de classes. 1. Main results For a Dirichlet quadratic character χ of conductor q, several techniques were devised to get a lower bound for L(1, χ). One of them consists in estimating S(α) = ∑ n≥1 (∑ d|n χ(d) ) e−αn (1.1) in two ways, where α > 0 is a parameter to be chosen. We first notice that (1 ?χ)(n) ≥ 0 and even ≥ 1 if n is a square, thus obtaining the lower bound S(α) � α−1/2. On an other side, reversing the inner summation yields S(α) = L(1, χ)α−1 + ∑ d≥1 χ(d) ( 1 eαd − 1 − 1 αd ) . (1.2) Using partia

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