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Sur un article de Dubins

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  • Mathematics

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Sur un article de Dubins SÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (STRASBOURG) PAUL-ANDRÉ MEYER Sur un article de Dubins Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 5 (1971), p. 170-176. <http://www.numdam.org/item?id=SPS_1971__5__170_0> © Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1971, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire de probabilités (Strasbourg) (http://www-irma. u-strasbg.fr/irma/semproba/index.shtml), implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer- ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR UN ARTICLE DE DUBINS par P.A. Meyer Université de Strasbourg Séminaire de Probabilités 1969/70 Soit (Xn)neN une martingale ; on peut supposer sans restreindre la généralité que XD est une constante e. Soit un mouvement brow- nien issu de e. On se propose de trouver une suite de temps l’arrêt telle que les processus (Xn) et (BS ) aient même loi. Si l’on n’impose aucune restriction aux S , la remarque suivante ( communiquée par DOOB ) résout trivialement le problème. Considérons la tribu F1-T(Bt,t1) ; la loi induite sur la tribu séparable F1 étant sans atomes, cette tribu est suffisamment riche pour que l’on puisse construire une suite (Zn) de variables aléatoires F1-mesurables, iden- tique en loi à la suite (Xn). Posons alors et inf « t>1 : 1 inf { Bt(w)=Z~(c~) ~ , etc. Il est clair que les S sont des temps d’arrêt ( p.s. finis en vertu du comportement à l’infini des trajectoires du mouvement brownien, qui sera rappelé plus loin ), et que les processus (BS ) et (Zn) sont égaux. No- ter que la propriété de martingale du processus (X ) n’a pas été utili- sée, et que si l’on n’a pas p.s. Z1=B1. On se propose donc de trouver une construction naturel

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