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Cette th se porte sur l approximation des quations aux d riv es partielles en particulier l quation de diffusion en tomographie optique Elle peut se pr senter en deux parties essentielles Dans la premi re partie on discute le probl me direct alors que le probl me inverse est abord dans la seconde partie Pour le probl me direct on suppose que les param tres optiques et les fonctions sources sont donn s On r sout alors le probl me de diffusion o la densit du flux lumineux est consid r e comme une fonction inconnue approcher num riquement Le plus souvent pour reconstruire le signal num rique dans ce genre de probl me une discr tisation dans le temps est n cessaire Nous avons propos d utiliser la transform e de Fourier et son inverse afin d viter une telle discr tisation Les techniques que nous avons utilis es sont la quadrature de Gauss-Hermite ainsi que la m thode de Galerkin bas e sur les B-splines ou les B-splines tensorielles et sur les fonctions base radiales Les B-splines sont utilis es en dimension un alors que les B-splines tensorielles sont utilis es lorsque le domaine est rectangulaire avec un maillage uniforme Lorsque le domaine n est plus rectangulaire nous avons propos de remplacer la base des B-splines tensorielles par les fonctions base radiale construites partir d un nuage de points dispers s dans le domaine Du point de vue th orique nous avons tudi l existence l unicit et la r gularit de la solution puis nous avons propos quelques r sultats sur l estimation de l erreur dans les espaces de type Sobolev ainsi que sur la convergence de la m thode Dans la seconde partie de ce notre travail nous nous sommes int ress s au probl me inverse Il s agit d un probl me inverse non-lin aire dont la non-lin arit est li e aux param tres optiques On suppose qu on dispose des mesures du flux lumineux aux bords du domaine tudi et des fonctions sources On veut alors r soudre le probl me inverse de fa on simuler num riquement l indice de r fraction ainsi que les coefficients de diffusion et d absorption Du point de vue th orique nous avons discut certains r sultats tels que la continuit et la d rivabilit au sens de Fr chet de l op rateur mesurant le flux lumineux re u aux bords Nous avons tabli la propri t lipschitzienne de la d riv e de Fr chet en fonction des param tres optiques Du point de vue num rique nous nous sommes int ress s au probl me discret dans la base des B-splines et la base des fonctions radiales Ensuite nous avons abord la r solution du probl me inverse non-lin aire par la m thode de Gauss-Newton The purpose of this thesis is to develop and to study numerical methods for the solution of some Partial Differential Equations PDE such as the diffusion transport problem in optical tomography The presented work can be partitioned into two parts In the first part we consider the direct problem and in the second part we treat the inverse problem For the direct problem we assume that the optical parameters and the source functions are given Here the density of the luminous flow is considered as an unknown function to be approached numerically Generally to reconstruct the numerical signal a mesh-technique in the time variable is necessary To avoid such a discretisation we will use a technique based on the Fourier transform and its inverse These methods use the Gauss-Hermite quadrature as well as Galerkin method based on Bsplines B-splines tensorial and radial basis functions RBF The B-splines are used in the one-dimension case while the tensorial B-splines are used when the domain is rectangular with a uniform mesh When the domain is not rectangular any more we use the radial basis functions From the theoretical point of view we will study the existence the uniqueness and the regularity of the solution and then we propose some results on the estimation of the error in Sobolev-type spaces In the second part of this work we are interested in the diffusion inverse problem a non-linear inverse problem We suppose that the measures of the luminous flow in the edges of the domain and the source functions are given We will give some theoretical results such as the continuity and the differentiability in the Fr chet sense of the operator defined to measure the luminous flow detected on the edges of the domain From the numerical point of view adds we will be interested in the discreet case using B-splines and radial basis functions We will use the Newton method to solve the non-linear inverse diffusion problem CALAIS-BU Sciences 621932101 Sudoc Sudoc France FR

Approximation of the diffusion problem in optical tomography and inverse problem / Approximation du problème de diffusio...

Approximation du problème de diffusion en tomographie optique et problème inverse

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