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L anneau de Cox d une vari t alg brique satisfaisant des conditions naturelles est un invariant tr s riche Il est introduit par Cox en 1995 pour l tude des vari t s toriques puis g n ralis aux vari t s normales par Arzhantsev Berchtold et Hausen Plus tard Hu et Keel d couvrent que les vari t s normales dont l anneau de Cox est de type fini d finissent une classe de vari t s dont la g om trie birationnelle est particuli rement bien comprise Ils les nomment les Mori Dream Spaces MDS du fait de leur bon comportement vis- -vis du programme de Mori Un premier probl me est alors de trouver des conditions naturelles pour qu une vari t normale soit un MDS Un second est de d crire l anneau de Cox d un MDS donn trouver une pr sentation par g n rateurs et relations donner la nature de ses singularit s etc Parmi les vari t s alg briques munies d une action d un groupe alg brique affine une classe particuli rement bien comprise est constitu e des vari t s normales de complexit au plus un un groupe r ductif connexe agit de telle sorte que la codimension minimale d une orbite d un sous-groupe de Borel est au plus un Le vari t s normales de complexit z ro sont dites sph riques par exemple une vari t torique est sph rique En 2007 Brion montre que les vari t s sph riques sont des MDS et donne une description par g n rateurs et relations de leur anneau de Cox Une vari t normale de complexit un est un MDS si et seulement si c est une vari t rationnelle par exemple une surface normale rationnelle sur laquelle le groupe multiplicatif agit effectivement ou encore une vari t normale de dimension trois sur laquelle SL2 agit avec une orbite dense Cela d finit une classe naturelle de MDS avec action de groupe pour laquelle le second probl me n a t tudi que dans des cas tr s particuliers Dans cette th se on commence par d finir l anneau de Cox quivariant d une vari t normale munie d une action d un groupe alg brique Puis on tudie ses propri t s g n rales et on le relie l anneau de Cox ordinaire On s appuie alors sur ce travail pr liminaire pour tudier diff rents aspects de l anneau de Cox d une vari t normale rationnelle de complexit un On obtient en particulier un r sultat de finitude pour l it ration des anneaux de Cox ainsi qu une caract risation de la log terminalit des singularit s On tudie en d tail une classe d exemples les anneaux de Cox de vari t s de dimension trois presque homog nes sous SL2 c d normales et admettant une orbite dense Prolongeant les r sultat obtenus sur ces exemples on donne une pr sentation par g n rateurs et relations de l anneau de Cox d une vari t presque homog ne de complexit un Pour obtenir ce dernier r sultat on introduit et tudie une classe int ressante de compl tions quivariantes de certains espaces homog nes de complexit un

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Anneau de Cox de variétés avec action de groupe

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